ISOMETRI (GEOMETRI TRANSFORMASI) KELAS 6F

KELOMPOK 10

• DIAH WULANSARI 
• IIS ARISKA 
• AMIK WAHYU NINGSIH

 

ISOMETRI

DEFINISI

Suatu refleksi pada garis s adalah suatu fungsi M yang didefinisikan untuk setiap titik P pada bidang sebagai berikut. 

Untuk menyatakan refleksi garis s akan digunakan symbol M_s. Garis s disebut sumbu refleksi. Mengingat refleksi garis bagian penting dalam geometri , apakah fungsi juga merupakan transformasi. Untuk mengetahuinya, perlu dijawab tiga pertanyaan tentang garis refleksi M_s , yaitu :

1   1. apakah domainnya terdiri atas semua titik pada bidang ?

2   2. apakah setiap titik bidang pada bidang merupakan  peta ( bayangan ) beberapa titik oleh fungsi M_s ?

     3.apakah fungsi satu – satu, yaitu titik – titik yang berbeda dipetakan onto ke bayangan ( peta ) yang berbeda ? 

Jelas bahwa setiap titik dalam bidang terletak pada s atau titik pada s. Karena kita mempunyai aturan dalam fungsi M untuk mendapatkan peta ( bayangan ) untuk semua titik, maka domainnya pasti  termasuk semua titik pada bidang. 

Hal ini memperlihatkan bahwa P  adalah peta ( bayangan ) dari beberapa titik , berarti kita bisa menyimpulkan bahwa M_s adalah pemetaan dari bidang onto bidang. Untuk memperlihatkan M_s fungsi satu – satu akan dilakukan bukti tak langsung da mengandaikan ada titik R dan S yang berbeda sedemikian hingga:

maka s adalah garis bagi yang tegak lurus dari RK  dan SK, hal ini tidak mungkin. Sebab, tidak ada satu garis yang dapat menjadi garis bagi tegak lurus dari dua segmen berbeda yang titik ujung segmen itu sama. 

Hal ini bertentangan dengan asumsi bahwa R dan S dua titik berbeda,. Jadi , tidak ada titik – titik berbeda yang dipetakan onto ke titik yang sama. Akibatnya, M_s adalah pemetaan satu – satu. Ini berarti membuktikan teorema berikut :

TEOREMA 1.1

Setiap refleksi garis adalah transformasi. Sifat yang utama dari refleksi garis adalah mempertahankan jarak. Maksudnya, dalam refleksi garis, bayangan dari dua titik berbeda dipisahkan pada jarak yang sama seperti titik – titik asalnya. Selanjutnya, suatu transformasi yang mempunyai sifat mempertahankan jarak disebut suatu isometri.

DEFINISI

            Suatu transformasi T adalah isometri jika dan hanya jika untuk setiap pasangan titik – titik P dan Q,

 

Bukti ,

            Pembuktiannya menggunakan koordinat geometri. Kita ingat bahwa sautu sistem koordinat dapat dibentuk dengan menggunakan sepasang garis tegak lurus dalam satuan panjang, serta menetapkan sumbu x dan y positif, kita bebas memilih sumbu mana yang akan dijadikan sumbu refleksi. Dalam hal ini, dipilih sumbu x sebagai garis s nya, sedangkan sumbu y menjadi garis tegak lurus s.

 

SIFAT – SIFAT PENJUMLAHAN ISOMETRIS

           Seperti dijelaskan terdahulu, refkeksi garis mempunyai sifat – sifat dasar, yaitu :

1.    1.   Pemetaan satu – satu dari bidang onto bidang

2.    2.   mempertahankan jarak

Sifat – sifat di atas telah kita ketahui gambarannya tentang bayangan ( peta ) tidak satu per satu melalui suatu transformasi. Bagaimana halnya dengan transformasi sekelompok titik ? Misalnya, apa yang terjadi dengan transformasi suatu segitiga oleh refleksi sumbu y ?  Seperti yang sudah dibicarakan sebelumnya tentang notasi transformasi suatu titik, maka notasi itu dapat kita perluas pula untuk menyatakan transformasi dan fungsi sekelompok titik. 

1.Pencerminan garis memetakan garis lurus onto garis lurus 

2.Pencerminan garis mempertahankan ukuran sudut antara garis – garis

3.Pencerminan garis mempertahankan kesejajaran dan ketegaklurusan garis – garis 

Contoh bahwa garis mempertahankan kesejajaran, jika dua garis sejajar, mmaka bayangan ( Peta ) juga sejajar.

            Menurut definisi , suatu isometric adalah pemetaan satu – satu yang mempertahankan jarak dari bidang onto bidang. Sifat – sifat 3, 4, 5 dapat dibuktikan untuk suatu issometri. Karena refleksi garis tidak hanya sifat 3,4, dan 5,  generalisasi yang lebih luas, yaitu mengansumsikan bahwa suatu T hanya mempunyai sifat  mempertahankan jarak. Apabila, selanjutkan ditunjukkan bahwa T mempunyai sifat – sifat itu, maka kita telah membuktikan bahwa setiap isometri mempunyai sifat – sifat itu juga. Karena pencerminan garis adalah isometric., maka sifat – sifat berlaku secara khusus pada refleksi garis.

 

Logika pembuktian seperti di atas akan menolong kita ketika menguji suatu jenis transformasi yang baru, sehingga cukuplah ditunjukkan bahwa pemetaannya mempertahankan jarak , yaitu :

·        yang memetakan garis onto garis

·        yang mempertahankan ukuran sudut, kesejajaran , dan ketegaklurusan

Karena preservasi ukuran sudut, kesejajaran, dan ketegaklurusan  antargaris bergantung pada  fakta bahwa bayangan  ( peta )  suatu garis pastilah garis, maka kita mulai dengan pembuktian isometric memetakkan garis onto garis.

COROLLARY

Bayangan dua garis oelh suatu isometric adalah tegak lurus jika dan hanya jika garis – garis semula itu tegak lurus.

TEOREMA

Bayangan ( peta ) dua garis oleh suatu isometric adalah sejajar jika dan hanya jika garis – garis semula itu sejajar. 

 

ISOMETRI YANG LANGSUNGDAN BERLAWANAN

            Menurut pembicaraan dalam sub bab terdahulu, ismoetri memiliki sifat mempertahankan ukuran panjang antara segmen – segmen dan ukuran sudut antarsegmen, seolah – olah kita memiliki alat pengerak/ pemindah yang membawa suatu objek tanpa merussak apalagi mengubah bentuk objek tersebut.

            Pada dasarnya , terdapat dua jenis isometric. Pertama , yang memindahkan bangun geometri langsung dari satu posisi ke posisi lain. Kedua, yang memindahkan suatu bangun dengan memutar bangun tersebut.

            Sejauh ini, perbedaan mendasar antarisometri mungkin belum jelas. Karena itu, berikut ini akan diberikan gambaran secara matematis yang lebih tepat lagi tentang isometric. Pertama akan dikenalkan pad aide tentang orientasi suatu urutan tiga titik yang tak segaris.

            Jika ( P₁P₂P₃) adalah tiga titik berurutan yang tak segaris, maka dengan tepat ada sebuah lingkaran b yang melalui P₁P₂   dan P₃. Dimulai dari P₁, kita dapat bergerak melingkari b sehingga bertemu P₂ dan selanjutnya P₃ dan akhirnya kembali P₁. Jika arah keliling ini titik ( P₁P₂P₃) memiliki orientasi yang sesuai dengan arah putaran jarum jam. Apabila arah keliling itu berlawanan dengan arah putaran jarum jam, maka dikatakan bahwa tiga titik ( P₁P₂P₃) memiliki orientasi yang berlawanan dengan arah jarum jam.

            Suatu transformasi membalikkan orientasi jika untuk setiap tiga titik yang tidak segaris orientasinya tidak sama dengan orientasi peta – petanya. Suatu pemetaan disebut pemetaan itu membalikkan orientasi.

POSTULAT

Setiap refleksi garis adalah suatu ismometri berlawanan satu dari isometric adalah jika isometric itu membalikkan sebuah tiga titik berurutan, maka isometric itu membalikkan setiap tiga titik, dan jika isometric itu mengawetkan sebuah orientasi tiga buah titik, maka isometric itu mengawetkan setiap orientasi tiga titik.

LATIHAN SOAL DAN PEMBAHASAN